あさのひとりごと

3日坊主にならないように、全力を尽くします。 記事は個人のひとりごとです。所属する組織の意見を代表するほど、仕事熱心じゃないです。

オイラーの公式は素敵ですねという話

数値流体力学で私が好きなものの1つに複素速度ポテンシャルがありますが、流体に限らず力学の世界では「オイラーの公式」をあたりまえのように使います。

このオイラーの公式は、ものすごくシンプルなのですが大変ロマンチックなので「美しい数式」としても有名です。

$$
e^{i x}=\cos x+i\sin x
$$



前提知識

オイラーの公式の素敵さを知るために必要な前提知識は、以下の通りです。

オイラーeとは

オイラー数とは、自然対数の底eのことです。その値は


e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 …
と続く超越数です。たくさんの偉い人が、オイラー数について詳しい説明をされているので、ググってそちらを読んでください。

虚数iとは

虚数とは、実数ではない複素数のことです。
たくさんの偉い人が、虚数*1について詳しい説明をされているので、ググってそちらを読んでください。

正弦余弦\sin x / \cos xとは

中学校の数学でおなじみの\sin x/\cos xです。たくさんの偉い人が、、、


これ以外にも、微分とは?も知っておく必要があります。
しかし、高校までの数学ですべて習っている範囲だとおもいます。

オイラーの公式を導出しよう!

オイラーの公式はいくつかの方法で導出できるようですが、ここは解析学で!

f\left( x\right)x=0を含む区間微分可能で、かつn\rightarrow \inftyのとき次の式が成り立ちます。


f\left( x\right) \fallingdotseq  f\left( 0\right) +f'\left( 0\right) x +\dfrac {f''\left( 0\right) } {2!}x^{2}+\dfrac {f'''\left( 0\right) } {3!}x^{3}\ldots+\dfrac {f^{n}\left( x\right) } {n!}x^{n}  \tag{1}

これはテイラー展開とよばれるもので、一般の関数 f(x)多項式で近似する方法です。流行りの機械学習でもよく登場します。



まず、オイラーの公式の左辺を考えます。

f\left( x\right) =e^{i x}を式(1)に代入すると


\begin{eqnarray}
e^{ix} &=& 1 + \frac{ix}{1!} + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + ... \tag{2}
\end{eqnarray}

がなりたちます。

ここで、 i^2 = -1なので、式(2)は

\begin{eqnarray}
e^{ix} &=& 1 + i\frac{x}{1!} - \frac{x^2}{2!} -i \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ... \tag{3}
\end{eqnarray}
となります。



次に、右辺を考えます。

f\left( x\right) =\cos xを式(1)に代入すると


\begin{eqnarray}
\cos x &=& 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} ... \tag{4}
\end{eqnarray}

f\left( x\right) =\sin xを式(1)に代入すると


\begin{eqnarray}
\sin x &=& x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} ... \tag{5}
\end{eqnarray}
がなりたちます。



ここで、式(4)と式(5)をふまえて、式(3)をしっかり見つめます。

そして、整理します。

すると、、、、なんとなんと


\begin{eqnarray}

e^{i x} &=& 1 + i\frac{x}{1!} - \frac{x^2}{2!} -i \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ... \\\
&=& (1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - ...) + i(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ...)  \\\

e^{i x} &=& \cos x+i\sin x
\end{eqnarray}


実数の世界では全く他人の指数関数と三角関数が、、、、、

実は虚数の世界を通じてつながっていたというロマンチックさ♡

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*1:大事なのは、妄想癖

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