数値流体力学で私が好きなものの1つに複素速度ポテンシャルがありますが、流体に限らず力学の世界では「オイラーの公式」をあたりまえのように使います。
このオイラーの公式は、ものすごくシンプルなのですが大変ロマンチックなので「美しい数式」としても有名です。
$$
e^{i x}=\cos x+i\sin x
$$
前提知識
オイラーの公式の素敵さを知るために必要な前提知識は、以下の通りです。
オイラーの公式を導出しよう!
オイラーの公式はいくつかの方法で導出できるようですが、ここは解析学で!
これはテイラー展開とよばれるもので、一般の関数を多項式で近似する方法です。流行りの機械学習でもよく登場します。
まず、オイラーの公式の左辺を考えます。
を式(1)に代入すると
がなりたちます。
ここで、なので、式(2)は
となります。
次に、右辺を考えます。
を式(1)に代入すると
を式(1)に代入すると
がなりたちます。
ここで、式(4)と式(5)をふまえて、式(3)をしっかり見つめます。
そして、整理します。
すると、、、、なんとなんと
実数の世界では全く他人の指数関数と三角関数が、、、、、
実は虚数の世界を通じてつながっていたというロマンチックさ♡
*1:大事なのは、妄想癖