物理空間から計算空間への座標変換

日々生活していると、2次元での物理空間から計算空間への座標変換をしたくなるときがあります。

なので、備忘録として。

物理空間 $(x,y,t)$ をデカルト座標系の計算空間 $(\xi, \eta ,\tau)$ に写像する場合
計算空間での格子間隔を $\Delta \xi = \Delta \eta =1$ とすると、 $f(x,y,t)$ の $\tau$ に関する微分は次の式になります。

$\dfrac {\partial f} {\partial \tau } = \dfrac {\partial f} {\partial t }\dfrac {\partial t} {\partial \tau } + \dfrac {\partial f} {\partial x }\dfrac {\partial x} {\partial \tau } + \dfrac {\partial f} {\partial y }\dfrac {\partial y} {\partial \tau }$

同様にして、 $\eta$ は
$\dfrac {\partial f} {\partial \eta } = \dfrac {\partial f} {\partial t }\dfrac {\partial t} {\partial \eta } + \dfrac {\partial f} {\partial x }\dfrac {\partial x} {\partial \eta } + \dfrac {\partial f} {\partial y }\dfrac {\partial y} {\partial \eta }$

同様にして、 $\xi$ は
$\dfrac {\partial f} {\partial \xi } = \dfrac {\partial f} {\partial t }\dfrac {\partial t} {\partial \xi } + \dfrac {\partial f} {\partial x }\dfrac {\partial x} {\partial \xi } + \dfrac {\partial f} {\partial y }\dfrac {\partial y} {\partial \xi }$

行列で表すと、こう。

$\left[ \begin{array}{r} \dfrac {\partial f} {\partial \tau } \\ \dfrac {\partial f} {\partial \eta } \\ \dfrac {\partial f} {\partial \xi } \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & x_{\tau} & y_{\tau} \\ 0 & x_{\eta} & y_{\eta} \\ 0 & x_{\xi} & y_{\xi} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} \dfrac {\partial f} {\partial t } \\ \dfrac {\partial f} {\partial x } \\ \dfrac {\partial f} {\partial y } \end{array} \right]$

逆の変換式は $(x,y,t)$ と $(\eta,xi,\tau)$ を入れ替えるとよいので、次の式です。

$\left[ \begin{array}{r} \dfrac {\partial f} {\partial t } \\ \dfrac {\partial f} {\partial x } \\ \dfrac {\partial f} {\partial y } \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & x_{\tau} & y_{\tau} \\ 0 & x_{\eta} & y_{\eta} \\ 0 & x_{\xi} & y_{\xi} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} \dfrac {\partial f} {\partial \tau } \\ \dfrac {\partial f} {\partial \eta } \\ \dfrac {\partial f} {\partial \xi } \end{array} \right]$

ここで、、、

座標 $(x,y)$ と座標 $(\eta,\xi)$ のヤコビアンを $J$ とすると

$J = x_{\eta}y_{\xi}-x_{\xi}y_{\eta}$

で、

$\left[ \begin{array}{r} \dfrac {\partial f} {\partial t } \\ \dfrac {\partial f} {\partial x } \\ \dfrac {\partial f} {\partial y } \end{array} \right] = 　\dfrac {1} {J } \left[ \begin{array}{rrr} J & (-x_{\tau}y_{eta}+y_{\tau}x_{\eta}) & (x_{\tau}y_{\xi}-y_{\tau}x_{\xi}) \\ 0 & y_{\eta} & -y_{\xi} \\ 0 & -x_{\eta} & x_{\xi} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} \dfrac {\partial f} {\partial \tau } \\ \dfrac {\partial f} {\partial \eta } \\ \dfrac {\partial f} {\partial \xi } \end{array} \right]$